Resumo:
Propsito do Trabalho:
Os derivativos so compostos por diversos subgrupos: o mercado futuro, o mercado a termo, mercado de swaps e o mercado de opes. O tema central desse trabalho o mercado de opes, as quais so representadas por contratos de aquisio de um direito e no um dever, ou seja, de comprar ou vender um determinado ativo numa data futura pr-determinada.
Nesse trabalho ser discutido um tema essencial no mercado de opes: a sua precificao. Esse tema muito debatido academicamente (como em Vittielo Jr., 2000; Maia e Silva, 2011; Clemente e Mattos, 2011), dada a dificuldade de determinar qual seria o mtodo mais adequado para se chegar a um preo considerado justo .
Nesse contexto, este trabalho procura responder a seguinte questo de pesquisa: Qual o nvel de aderncia dos preos de opes que esto sendo negociadas na BM&FBovespa aos preos estabelecidos pelos modelos mais usuais de precificao?
Portanto, o objetivo deste trabalho analisar se os preos de mercado das opes de aes que compem o ndice Bovespa se aproximam dos preos estabelecidos pelos modelos clssicos de precificao. Pretende-se tambm examinar se os modelos diferem significativamente em suas avaliaes. Para tanto, sero analisados os preos das opes que foram negociadas na BM&FBovespa no perodo de 2009 a 2013 e os preos estabelecidos de acordo com os modelos Binomial, Black-Scholes e a simulao de Monte Carlo.
Esta pesquisa se diferencia das demais realizadas no Brasil pois apresenta uma anlise de perodos mais recentes e mais ampla, ao considerar trs modelos. Alm disso, foi analisado as opes sobre aes, normalmente encontram-se apenas estudos sobre o mercado de commodities.
Base da plataforma terica:
H diversos tipos de opes, havendo vrias classificaes e particularidades nesse mercado. Primeiramente, vale citar que as opes so divididas entre as opes de compra (calls) e as de venda (put). De acordo com Hull (2012), a call tem como caracterstica dar ao detentor da opo o direito de comprar o ativo objeto por determinado preo no futuro. J a put indica que o detentor da opo ir adquirir o direito de vender algo por um determinado preo no futuro.
Outra classificao importante que existe no mercado de opes com relao ao vencimento, havendo dois tipos de classificaes: a americana e a europeia. Marins (2009) explica que uma opo americana aquela que pode ser negociada a qualquer momento at o vencimento do exerccio. J a opo europeia s pode ser negociada no vencimento do exerccio.
A obteno do valor considerado justo para se cobrar por uma opo no uma tarefa fcil, considerando, dentre outras coisas, a alta volatilidade do mercado de capitais. Por isso, vrios modelos foram desenvolvidos com o propsito de estimar o preo destes ativos, cada um apresentando vantagens e tambm limitaes.
Como citado por Tonin (2012), uma opo pode ser precificada utilizando-se modelos de tempo discreto ou contnuo. Hull (2008) define como a diferena entre esses dois tempos o momento exato onde o valor da varivel em questo poder mudar. No caso do tempo discreto, o valor da varivel poder mudar apenas num ponto especifico do tempo, diferentemente do tempo continuo no qual o valor ir mudar a qualquer momento. Os modelos de tempo discreto realizam uma abordagem que analisa a precificao por mtodos numricos, como o modelo binomial. J os modelos de tempo contnuo podem ocorrer de trs formas: por uma soluo fechada (Black-Scholes, 1973); uma equao diferencial estocstica (Bachelier, 1900) ou uma simulao (Monte Carlo). O foco desse trabalho ser utilizar um modelo de tempo discreto (o modelo binomial) e dois de tempo contnuo (Black-Scholes e Simulao de Monte Carlo).
De acordo com Black e Scholes (1973), os modelos existentes at ento para precificao de opes eram incompletos, pois envolviam muitas frmulas com parmetros arbitrrios. Figueiredo (2005) relata que essa frmula tem como hiptese central a de que os preos do ativo seguem uma distribuio log-normal, isso significa que a distribuio probabilstica dos retornos do ativo em uma data no futuro, calculados de uma forma contnua e que sejam compostos a partir de seus preos, normal.
Mahfuz (2008) analisou o modelo binomial como uma proposta alternativa ao modelo de Black-Scholes. O autor conclui que o modelo binomial bem simples de compreender e realizar os clculos no computador do que seu antecessor. Porm, Tonin (2009) relata em seu trabalho uma crtica ao modelo binomial com relao ao seu custo computacional que ocorreria devido ao aumento exponencial de operaes a cada intervalo de tempo inserido na anlise.
Boyle (1977) realizou um estudo demonstrando que a simulao de Monte Carlo pode ser utilizada como um mtodo para se precificar opes. O mtodo utiliza o fato de que a distribuio do preo final determinada com base num processo de gerar movimentos futuros com relao ao preo futuro da ao. Rochman (1998) determina que a simulao de Monte Carlo um mtodo muito simples e flexvel de se aplicar para precificar opes, podendo ser aplicado para qualquer nvel de complexidade.
Mtodo de investigao:
Os ativos subjacentes desse estudo sero as aes que compem o ndice Bovespa para que assim sejam escolhidas apenas aes que de fato tm liquidez. Ser utilizado como perodo de estudo os preos dos ativos subjacentes no perodo 2009- 2013.
Para atingir esse objetivo, foi obtido do site da BM&FBovespa todas as cotaes histricas do ano de 2009 a 2013. Aps isso, separou-se quais dos objetos em questo eram opes de venda ou de compra. Com essa separao, percebe-se que as calls tendem a ser mais lquidas do que as puts, portanto, sero utilizadas apenas as calls.
Um dos maiores desafios com relao precificao de opes deve-se a varivel volatilidade. Neste trabalho ser escolhida apenas uma volatilidade, conhecida como Exponencial Weighted Moving Average (EWMA), que calculada com base na metodologia de amortecimento exponencial da varincia. Essa volatilidade dada no site da BM&FBovespa e determinada pelo manual de marcao a mercado divulgado pelo Banco BM&F.
Para clculo dos trs modelos foi utilizado o programa Matlab R2009b para Unix. Brandimarte (2005) define alguns mtodos para se calcular os preos das opes por meio do Matlab, sendo este a base para programar a precificao dos modelos de Black-Scholes e Binomial. As funes utilizadas foram: BLSPRICE e BINPRICE, respectivamente. A simulao de Monte Carlo aqui utilizada tem uma abordagem simplificada, para isso foi utilizado o processo de 500 simulaes de 50 iteraes.
Para anlise comparativa de cada um dos valores obtidos com os valores negociados no mercado, ser utilizado o erro quadrtico mdio (EQM), esse representa a soma das diferenas entre o valor estimado e o valor real dos dados, ponderados pelo nmero de termos. Alm disso, sero realizados testes de diferenas de mdias visando examinar se h diferenas significativas estatisticamente entre os valores gerados pelos trs modelos para precificao de opes, bem como se h diferena significativa entre os valores gerados pelos modelos e o valor de mercado. Para tanto, ser verificado se os dados apresentam distribuio normal, por meio do Teste de Kolmogorov-Smirnov, e se as varincias so homogneas, por meio do Teste de Levene. Aps a verificao destes pressupostos, ser utilizado o teste adequado (paramtrico ou no-paramtrico).
Resultados, concluses e suas implicaes:
Para a anlise dos resultados, elaborou-se uma tabela contendo os erros quadrticos mdios dos modelos. Esse tipo de medida visa determinar o quanto os preos obtidos esto divergentes em relao aos preos estabelecidos pelos negociados no mercado brasileiro. Por meio dessa, consegue-se perceber que o erro quadrtico mdio dos modelos tem um valor muito prximo, demonstrando que os valores mdios dos prmios so quase iguais nos trs modelos. Um outro ponto importante a se destacar refere-se ao ano de 2010 e a sua elevada diferena em comparao com os outros anos. Enquanto nos outros quatro anos o EQM estava entre 0,16 a 0,30, no ano de 2010 o mesmo disparou para aproximadamente 2,5. Poder-se-ia chegar a possveis duas concluses com base nesse resultado obtido: a primeira que esse alto valor demonstraria que o mercado estava negociando as opes por um preo muito diferente do que os trs modelos em questo defendiam; a segunda concluso, no to bvia, poderia estar relacionada ao fato de que no ano de 2010 ocorria a eleio para presidente, o que pareceu que causou uma incerteza no mercado fazendo com as opes fossem ofertadas a preos extremos.
Para comparar os preos estabelecidos pelos modelos por meio de um teste de mdias foram realizados, primeiramente, testes de normalidade para os cinco anos em anlise. O mtodo escolhido para analisar a normalidade foi o teste de Kolmogorov-Smirnov. Dados H_0(a distribuio normal) e H_1(a distribuio no normal), pode-se dizer que existem evidncias estatsticas para rejeitar H_0 ao nvel de significncia de 5% pois o sig<0,05 e, assim, os dados no apresentam uma distribuio normal em nenhum dos anos aqui analisados.
Outro teste necessrio a se fazer com relao homoscedasticidade, isto , igualdade de varincias entre variveis. Corrar et al (2007) definem que esse teste refere-se suposio de que as variveis dependentes exibem nveis iguais de varincia ao longo do domnio das variveis independentes. Para realizar esta anlise foi escolhido o teste de Levene que ir analisar se as varincias populacionais so homogneas, ao comparar duas ou mais populaes. Dados H_0(as varincias so iguais) e H_1(ao menos uma varincia diferente), pode-se dizer que no existem evidncias estatsticas para se rejeitar H_0, pois o sig>0,05 e, portanto, as varincias so homogneas.
Com base nos resultados obtidos nos testes de Kolmogorov-Smirnov e de Levene, chega-se concluso de que os preos estabelecidos pelos modelos no seguem uma distribuio normal, embora possuam varincias homogneas. Com isso, deve-se realizar um teste no paramtrico de diferenas de mdias. Por se tratar de trs modelos distintos, ser utilizado o teste de Kruskal- Wallis.
Ser analisado por meio deste teste se as distribuies dos valores da varivel dependente so idnticas nos trs modelos (H_0); ou se h pelo menos um modelo onde a distribuio da varivel dependente diferente de uma das distribuies dos outros modelos (H_1). Analisando-se os resultados obtidos, (Sig.>0,05) por meio do nvel de significncia adotado de 5%, nota-se que no h evidncias estatsticas para se rejeitar H_0. Portanto, os preos estabelecidos pelos modelos no diferem estatisticamente.
Ao analisar todos os resultados aqui apresentados, chega-se concluso de que h aderncia do mercado em relao aos preos que cada modelo determina como justo, como verificado na anlise do Erro Quadrtico Mdio. As anlises estatsticas apontam ainda que os modelos estabelecem preos semelhantes, no havendo diferenas significativas entre eles.
Assim, pelos resultados obtidos, possvel inferir que o mercado brasileiro, em perodos conturbados, apresenta certa distoro com relao aos preos das opes que esto sendo negociadas. Em outros perodos, percebe-se que o mercado utiliza os preos dos modelos em questo, negociando valores que seriam considerados prximos ao conceito de justo que fundamentam os modelos utilizados.
Referncias bibliogrficas:
Black, F., Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, v. 81, n. 3, p. 637-654.
Clemente, F., Mattos, L. B. (2011). Precificao de opes sobre contratos futuros de boi gordo na BM&F: anlise dos modelos binomial e Black-Scholes. Revista de Economia e Desenvolvimento, v.10, n.1, p. 41-60.
Cox, J. C., Ross, S. A., Rubinstein, M. (1979). Option Pricing: A Simplified Approach. Journal of Finance Economics, v.7, n.3, p. 229 263.
Hull, J. C. (2012). Options, Futures, and other derivatives. Prentice Hall, 8.a ed.
Tonin, J. M. (2009). Aplicabilidade dos modelos de precificao para as opes sobre contratos futuros de caf arbica na BM&FBovespa. Dissertao de mestrado.
Vitiello Jr, L. R. S. (2000). Opes de Compra; o Ajustamento ao Mercado Brasileiro de Dois Modelos de Precificao. Revista de Administrao Contempornea, v. 4, n.1, pp 27-45.
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